确界原理

确界原理是刻画实数完备性的命题之一。设非空数集S有上界,若存在实数β满足以下两个条件:

1、有,(即β是S的一个上界)

2、有,(即再小一点就不是上界)

则称实数β为S的上确界,记为

同理,若存在实数α满足以下两个条件:

1、有,(即α是S的一个下界)

2、有,(即再大一点就不是下界)

则称实数α为S的下确界,记为。

有时上确界也被叫做最小上界,下确界也被叫做最大下界。

注意:S的上确界(或下确界)可能属于S,也可能不属于S。当上确界(或下确界)属于S时,不难证明上确界(或下确界)就是S中的最大数(或最小数)。

确界原理( supremum and infimum principle )是刻画实数完备性的命题之一。

确界原理:任一有上界的非空实数集必有上确界(最小上界);同样任一有下界的非空实数集必有下确界(最大下界)。

实数的这个性质是波尔查诺(Bolzano,B.)于1817年发现的。

若把+∞和-∞补充到数集当中,并规定任意一实数a与+∞,-∞的关系为-∞<a<+∞,则确界的概念可扩充为:若数集S无上界,则规定+∞为S的非正常上确界,记做sup S=+∞;若S无下界,则定义-∞为S的非正常下确界,记做inf S=-∞,相应的,若S有上确界或者下确界,则此定义分别成为正常上确界和正常下确界。

即: 任意一非空数集必有上确界和下确界(包括正常的和非正常的)

确界原理作为整个极限理论的基础,并且由于它直观易懂,经常代替戴德金定理作为实数公理,从而导出一系列与极限相关的性质,如单调有界定理,柯西审敛原理等。


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