三角形的五心 定义及性质

三角形的五心定义及性质如下：

三角形五心是指三角形的重心、外心、内心、垂心、旁心。

重心定义：三条中线相交的点叫做重心。

外心定义：三边垂直平分线的交点是外心。外心到三顶点距离相等。

内心定义：三条内角平分线的交点为内心。与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心即是三角形内心，内心到三角形三边距离相等。这个三角形叫做圆的外切三角形。三角形有且只有一个内切圆。

垂心定义：三角形三条高线的交点为垂心。

旁心定义三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点，即三角形的旁心。旁心到三角形一边及其他两边延长线的距离相等。三角形有三个旁切圆，三个旁心。这三个旁心到三角形三条边的延长线的距离相等。

五心的性质如下：

（1）三角形的重心与三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等。

（2）三角形的外心到三顶点的距离相等。

（3）三角形的垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点所构成的三角形的垂心。

（4）三角形的内心、旁心到三边距离相等。

（5）三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心。

（6）三角形的外心是它的中点三角形的垂心。

（7）三角形的重心也是它的中点三角形的重心。

（8）三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心。

（9）三角形的任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的二倍。

1、重心：三角形的三条中线交点。

2、外心：三角形的三边的垂直平分线交点。

3、垂心：三角形的三条高交于一点。

4、内心：三角形的三内角平分线交于一点。

5、中心：仅当三角形是正三角形的时候，重心、垂心、内心、外心四心合一心，称做正三角形的中心。

三角形的五心特点：

1、内心：三角形三条内角平分线的交点，即内切圆的圆心。内心是三角形角平分线交点的原理：经圆外一点作圆的两条切线，这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角（原理：角平分线上点到角两边距离相等）。

2、外心：是三角形三条边的垂直平分线的交点，即外接圆的圆心。外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点。该点叫做三角形的外心。

3、中心：三角形只有五种心重心、垂心、内心、外心、旁心，当且仅当三角形是正三角形的时候，四心合一心，称做正三角形的中心。

4、重心：重心是三角形三边中线的交点。

5、旁心：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点，该点即为三角形的旁心。旁心到三角形三边的距离相等。三角形有三个旁切圆，三个旁心。旁心一定在三角形外。直角三角形斜边上的旁切圆的半径等于三角形周长的一半。

扩展资料:

任何三角形都有五心，分别是重心、垂心、外心、内心、旁心。

重心：三角形三边中线的交点，为三角形的重心；在三角形的内部；

重心定理：重心到顶点的距离是到对边中点距离的2倍。

垂心：三角形三边高线的交点，为三角形的垂心；锐角三角形垂心在内部，直角三角形在直角顶点，钝角三角形在外部。

外心：三角形三边垂直平分线的交点，为三角形的外心；锐角三角形的外心在内部，直角三角形在斜边中点，钝角三角形在外部；此点为△外接圆的圆心，到三顶点的距离相等，这个距离叫外接圆半径R.

内心：三角形三内角平分线的交点，为三角形的内心；在三角形的内部，此点为三角形内切圆的圆心，到三边的距离相等，此距离为内切圆半径r.

参考资料：百度百科-三角形中心

三角形五心口诀：三角形有五颗心，重外垂内和旁心，五心性质很重要，认真掌握莫记混。

重心记忆口诀

三条中线定相交，交点位置真奇巧，交点命名为“重心”，重心性质要明了，

重心分割中线段，数段之比听分晓，长短之比二比一，灵活运用掌握好。

重心：是指三角形的三条中线的交点。

外心记忆口诀

三角形有六元素，三个内角有三边，作三边的中垂线，三线相交共一点，

此点定义为外心，用它可作外接圆，内心外心莫记混，内切外接是关键。

外心：是指三角形三条边的垂直平分线也称中垂线的相交点。

垂心记忆口诀

角形上作三高，三高必于垂心交，高线分割三角形，出现直角三对整，

直角三角形有十二，构成六对相似形，四点共圆图中有，细心分析可找清。

垂心：三角形的三条高线的交点叫做三角形的垂心。

内心记忆口诀

三角对应三顶点，角角都有平分线，三线相交定共点，叫做“内心”有根源，

点至三边均等距，可作三角形内切圆，此圆圆心称“内心”，如此定义理当然。

内心：三角形三条内角平分线的交点叫三角形的内心。即内切圆的圆心。

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